그림 신로아
1916년 ≪상대성 이론: 특수 이론과 일반 이론, Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie≫ 주요 내용
△ 시간의 상대성
번개가 둑에서 멀리 떨어져 있는 두 지점 A, B에 동시에 떨어졌다. A와 B의 중간 지점인 M에서 관측자가 동시에 A와 B를 관측했다면 두 섬광은 동시에 일어난 것이다. 그러나 이는 움직이지 않는 기찻길 둑이나 정지한 기차에 대한 동시일 뿐이다.
만약 기차가 B를 향해 V의 속도로 달리고 있는 중이라면 상황이 달라진다. 기차는 움직이는 새로운 좌표계가 된다. 번개의 빛이 M을 향해 진행하는 동안 관측자가 M에서 M′의 위치로 이동하게 되면 관측자는 B에서 온 번개의 빛을 먼저 보게 되고, A에서 온 번개의 빛은 나중에 보게 된다. 따라서 달리는 기차의 좌표계에서는 번개가 동시에 친 것이 아니다.
기찻길 둑에서 보면 번개가 동시에 쳤고, 달리는 기차에서 보면 번개는 동시에 친 것이 아니다. 시간은 누구에게나 동일하게 흐르는 절대적인 개념이었지만, 아인슈타인은 번개의 비유를 통해 상대적인 것으로 바꾸어 버렸다.
△ 빛의 속도 불변성
1887년 미국의 마이컬슨(Albert Abraham Michelson, 1852~1931)과 몰리(Edward Morley, 1838~1923)는 빛의 속력을 측정할 수 있는 간섭계를 만들어 에테르의 존재를 입증하려고 했다. 에테르는 보이지 않지만 우주를 가득 채우고 있는 유체 물질이라고 믿어지고 있었다. 빛과 같은 전자기파가 파동으로 전달되려면 우주가 매질로 가득 채워져 있어야 한다고 생각했기 때문이다.
마이컬슨과 몰리는 지구가 태양 주위를 초속 30km로 공전하고 있으므로 에테르의 저항으로 인해서 다른 경로로 들어오는 빛은 속도의 차이가 있을 것으로 예상하였고, 두 빛이 동시에 겹쳐지면 빛 파동의 간섭무늬가 나타날 것으로 기대했다. 그렇지만 그들은 두 빛의 속도에 차이가 전혀 없다는 것을 확인했을 뿐이다.
이에 대해서 네덜란드의 물리학자 헨드릭 로런츠(Hendrik Lorentz, 1853~1928)는 움직이는 모든 물체는 길이 수축을 하므로 마이컬슨 간섭계도 길이 수축을 하여 간섭무늬를 만들지 못했을 것이라고 추측하였다. 그러나 아인슈타인은 에테르와 같은 물질은 없고, 빛의 속력이 좌표계에 상관없이 항상 일정하기 때문에 그와 같은 결과가 생긴 것으로 해석했다.
△ 로런츠 인자
아인슈타인의 특수 상대성 이론에서는 로런츠가 만든 식과 동일한 형태의 인자가 자주 등장하는데, 이를 ‘로런츠 인자(Lorentz factor, γ)’라고 하며 다음과 같이 정의된다.
로런츠 인자는 시간 팽창, 길이 수축, 질량 증가 등의 특수 상대성 이론 공식에 모두 들어가는 중요한 인자이다. 로런츠 인자에서 v가 c보다 큰 값을 가지게 되면 제곱근 안의 값이 마이너스가 되므로 로런츠 인자의 값이 허수가 된다. 아인슈타인은 이를 근거로 빛보다 빠른 속도는 가능하지 않다고 보았다.
△ 시간 팽창
정지한 관찰자가 운동하는 관찰자를 보면 시간이 느리게 가는 것으로 관찰되는데, 이를 시간 팽창이라고 한다.
로켓을 타고 여행하는 관찰자 A를 달 표면에 정지한 관찰자 B가 보기에는 로켓 내부의 시간이 느리게 가는 것으로 보인다. A가 탄 로켓의 속도가 광속의 86.6%(=0.866C)라면, A의 시계가 1초 지날 때 B의 시계는 2초가 흐른다. 그 시간은 로런츠 인자 γ(감마)를 곱해서 구한다.
그런데 모든 운동은 상대적이기 때문에 A의 입장에서 볼 때에도 B의 시간이 느리게 간다. 로켓을 타고 가는 A의 입장에서는 자신이 정지해 있고, 달 표면의 B가 달과 함께 로켓의 속도로 움직이는 것으로 보이기 때문이다.2)
2) SF영화에서 로켓을 타고 여행을 다녀 온 우주인이 나이를 덜 먹은 설정은 천체의 중력장에서 멀어지면서 발생하는 빛의 도플러 효과를 고려하는 추가 계산이 필요하다. 과학자들의 계산에 의하면, 로켓을 타고 빠르게 여행하면 실제로 나이를 덜 먹는다.
시간 팽창이 일어나는 이유는 빛의 속도가 일정한 상수이기 때문에 발생한다. 광속의 86.6%로 날아가는 로켓에서 볼 때나 정지한 달에서 볼 때나 빛의 속도가 일정하므로, 고전역학의 속도 덧셈 법칙이 성립하지 않고, 시간 간격의 길이가 달라지는 것으로 이해할 수 있다.
△ 상대성 이론의 속도 덧셈 법칙
속도 v로 달리는 기차 위에서 사람이 기차와 같은 방향으로 w의 속도로 뛰어간다면, 기찻길 둑에서 볼 때 사람의 속도는 W= v+w가 되는 것이 고전역학에서의 속도 덧셈 법칙이다.
아인슈타인은 상대성 이론을 통해 속도 덧셈 법칙을 다음과 같이 수정하였다.
위 식에서 v 또는 w 중 어느 한 쪽이라도 속도가 광속 c와 같으면, 속도의 합 W=c가 된다. 그러므로 빛의 속도에 어떤 속도를 더해도 항상 빛의 속도가 된다.
△ 길이 수축
A가 속도 로 움직이는 로켓을 타고 지구에서 목성까지 여행한다고 가정한다.
A가 지구를 출발하여 목성까지 가는 데 로켓 내부의 시계로 Δt시간이 걸렸다. A는 목성까지의 거리를 L'= vΔt인 것으로 관찰할 것이다.
달에 있는 B가 측정한 지구와 목성 사이의 거리는 L이다. B가 볼 때는 A의 시간이 느리게 가므로, B는 A가 탄 로켓이 목성까지 가는 데 걸린 시간을 Δt'=γt로 측정하게 된다. 따라서 B가 측정한 거리 L=vΔt'=γvΔt 이다.
L'= vΔt 를 (1)식, L=γvΔt 를 (2)식이라고 하면, (1)식과 (2)식의 관계에서
이 된다. 그러므로 A가 측정한 길이(L')는 길이 L을 로런츠 인자(γ)로 나눈 값의 크기로 짧아지게 된다. 이를 길이 수축이라고 한다. 길이 수축은 운동 방향으로만 일어나며, 운동의 수직 방향으로는 일어나지 않는다.
△ 질량 변화
정지했을 때 질량 m。인 물체가 속도 v로 움직이면, 질량은 m=γm。(로런츠 인자×정지 질량)로 증가하게 된다.
로런츠 인자
에서 v=c가 되는 경우에는 γ=∞가 되기 때문에 아무리 작은 질량이라도 운동 속도가 광속에 이르면 질량이 무한대로 증가한다. 이와 같은 일은 불가능하므로 전자처럼 매우 작은 질량일지라도 운동 속도가 광속에 이를 수는 없다. 빛 입자인 광자는 질량이 0이기 때문에 광속이 가능한 것으로 본다.
△ 질량-에너지 동등성
질량과 에너지는 상호 변환이 가능하다. 방사성 원소가 핵분열로 질량이 감소하면 에너지는 E=mc² (질량×광속×광속)에 의해 생성된다. 우라늄 핵분열 반응에 의해 0.01kg의 질량이 에너지로 바뀌었다면, E=mc²=0.01kg × 3억m/s × 3억m/s= 900조 J(줄)3)의 엄청난 에너지가 생성된다.
3) 1J(줄) : 1m/s²의 가속도로 1kg의 물체를 1m 움직이는 데 필요한 에너지
이와는 반대로, 고에너지의 빛을 물질에 쏘이면 에너지가 흡수되면서 전자와 양전자를 만들어내기도 한다. 즉 에너지가 물질을 만드는 것이다.
△ 일반 상대성 이론의 중력과 관성력
무중력 공간에 커다란 상자가 정지해 있다고 가정한다. 정지한 상자 속에 들어있는 사람 A는 중력을 느낄 수 없다.
상자의 위쪽에는 줄이 달려 있다. 갑자기 줄이 위로 당겨지면서 상자가 가속되기 시작했다. A는 정지해 있었으므로 관성의 법칙에 의해 계속 정지해 있으려고 한다. 그러나 상자 바닥이 점점 더 빠른 속도로 A를 밀어올리기 때문에 A는 바닥에 달라붙은 채로 몸을 일으키기가 쉽지 않다. 상자에 작용하는 가속도가 지구의 중력가속도 크기와 같아지자, A는 상자 속이 지구에 있는 자기 방과 다르지 않다고 느낀다. 주머니에서 동전을 꺼내어 놓으면 상자 바닥으로 떨어지고, 침을 흘려도 바닥으로 떨어진다.
상자의 가속에 의해서 A가 느낀 힘은 관성력이다. 그 힘은 질량에 의해 발생하는 중력과 다를 바가 없다. 아인슈타인은 이와 같은 형식의 사고 실험을 통해 ‘관성 질량과 중력 질량은 구분할 수 없다’라고 결론을 내렸다. ‘관성력=중력’이라는 원리는 일반 상대성 이론을 이끌어내는 중요한 개념이다.
△ 빛의 경로 휘어짐
레이저 빛을 상자의 왼쪽 벽에서 오른쪽 벽을 향해 똑바로 쏘았다. 상자가 정지해 있거나 등속도로 움직이고 있는 경우에는 레이저 빛이 수평을 유지하며 똑바로 나간다.
상자가 가속되고 있는 경우에는 상황이 다르다. 왼쪽 벽에서 빛이 발사되는 순간부터 빛이 오른쪽 벽에 닿는 순간까지 상자의 속도가 매순간 같지 않다. 상자의 속도가 천장 방향으로 더 빨라지는 중이라면, 레이저 빛은 포물선을 그리며 수평보다 아래쪽 방향에 도달한다.
가속되는 상자에서 레이저 빛은 휘었다. 가속되는 상자는 관성력이 작용하는 공간이다. 즉 관성력이 빛을 휘게 만든 셈이다. ‘관성력=중력’이라는 동등 원리를 적용하면, ‘빛은 중력에 의해서 휘어진다.’는 결론도 성립한다. 아인슈타인은 이러한 사고 실험을 토대로 빛은 중력에 의해서 휘어지며, 이는 시공이 휘어진 결과로 나타나는 현상이라고 덧붙였다. 시공(時空, space-time)은 시간과 공간의 합성어이다.
△ 휘어진 공간의 물체 낙하
두 개의 사과가 지구를 향해 떨어지고 있다. 사과는 지구 중심을 향해 낙하하므로 두 사과의 거리는 점점 가까워진다. 사과가 낙하하는 동안, 아래로 작용하는 중력과 위로 작용하는 관성력이 상쇄되어 무중력 상태이다. 사과를 하나의 질점으로 간주하면 두 개의 질점에 작용하는 힘이 0인데 진행하는 동안 두 질점이 점점 가까워진 셈이다.
아인슈타인은 이에 대해서 ‘지구의 질량이 공간을 휘어지게 했고, 사과가 휘어진 공간을 따라 진행하기 때문’이라고 설명했다.
△ 공간의 휘어짐이 일으키는 중력
아인슈타인은 질량이 공간을 휘게 하고, 공간의 휘어짐이 중력을 일으키는 것으로 보았다. 무거운 볼링공을 신축성이 좋은 고무판에 올려놓으면 절구통 모양의 우묵한 공간이 된다. 여기에 구슬을 굴려 넣으면 경사면을 따라 빙글빙글 돌다가 마찰에 의해 속도가 줄어들면서 안쪽으로 떨어질 것이다.
그러나 마찰이 없다고 가정하면 구슬은 영원히 빙글빙글 돌 수도 있다. 마찰이 없는 진공에서 태양 주위를 도는 행성들의 운동은 이처럼 휘어진 공간에서 회전하고 있는 구슬과 같은 원리로 설명된다.
△ 중력에 의한 시간의 지연
너비를 가진 빛이 질량이 큰 천체 주위를 휘어지면서 진행한다. 빛이 진행한 거리=광속×시간이다. 너비를 가진 빛이 휘어졌으므로 천체에 가까운 쪽이 진행한 거리와 먼 쪽이 진행한 거리는 같지 않다. 천체에 가까운 쪽의 진행 거리를 AB라고 하고, 먼 쪽이 진행한 거리를 CD라고 하면 AB〈 CD가 된다. 거리=광속(c)×시간(t)에서 광속(c)은 일정한 상수이므로, AB〈 CD 조건을 만족하기 위해서는 시간이 달라야 한다.
AB=ct, CD=ct′이라고 하면, AB 〈 CD = ct < ct′= t < t′
즉, AB 구간의 시간이 더 느리게 흘러야 한다.
AB는 CD보다 천체에 가까운 곳이므로 더 큰 중력이 작용한다. 그러므로 중력이 큰 곳에서는 시간이 느려져서 더디게 간다.
△ 아인슈타인 방정식
평면에서는 거리를 계산할 때 피타고라스의 삼각법을 이용하면 되지만, 곡면 입체 공간에서는 그 계산이 매우 복잡해진다.
아인슈타인 방정식은 ‘시공간은 물질을 어떻게 움직이라고 일러주는가?’, ‘물질은 시공간을 어떻게 구부러지라고 일러주는가?’에 대한 통찰을 담고 있다. 아인슈타인은 리만(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826~1866)의 기하학과 계량 텐서(metric tensor)를 이용했다. 리만 기하학은 굽어지거나 비틀어진 두 점 사이의 거리를 수학적으로 결정할 수 있는 기하학이다. 곡선을 따라가면서 미소한 각도, 방향, 길이, 부피 등의 여러 정보를 담기 위해서는, 수학적으로 여러 개의 성분이 필요하다. 계량 텐서는 일반화된 벡터와 같은 것으로 하나의 성분이 여러 물리량을 가질 수 있기 때문에 기호에 둘 이상의 첨자가 붙는다.
가장 간략하게 표현된 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.
Gμν = 8πGTμν
좌변의 Gμν(지-뮤-뉴)는 아인슈타인 텐서라는 명칭을 갖고 있으며 시공간이 얼마나 굽었는지(곡률)를 압축해서 나타낸다. 우변의 Tμν(티-뮤-뉴)는 에너지-운동량 텐서로 물질의 움직임을 표현하는 항이다. G는 뉴턴의 중력 상수이다. 이 공식에 대해서 ‘웜홀(wormhole)’ 개념을 만든 물리학자 존 휠러(John Archibald Wheeler, 1911~2008)는 "물질은 시공간에게 어떻게 구부러져라 말하고, 시공간은 물질에게 어떻게 운동하라고 말한다."라고 멋들어지게 표현했다.Gμν와 Tμν는 시공간의 여러 가지 좌표 함수들로 정의될 수 있기 때문에 다양한 해(解;풀이)가 존재한다. 회전하지 않는 블랙홀에 대한 슈바르츠실트 해(Schwarzschild metric), 회전하는 블랙홀에 대한 커 해(Kerr metric), 중력파(gravitational waves)에 대한 해, 팽창하는 우주에 대한 해 등이다.
△ 일반 상대성 이론의 증거
아인슈타인은 일반 상대성 이론에서 유도한 식으로 수성의 근일점이 이동하는 각도를 정확히 계산해냈고, 태양의 중력장에 의해 빛이 휘어져 들어오는 각도를 정밀한 수치로 예측했다.
1) 수성의 근일점 이동
타원 궤도를 공전하는 행성들은 태양까지의 거리가 연중 내내 일정하지가 않다. 1년 중 행성이 태양에 가장 가까이 위치할 때의 지점을 근일점이라고 한다. 수성의 근일점은 100년 동안 574″(초) 각도가 달라지는 것으로 관측된다. 그 이유는 목성, 토성 등의 행성 중력에 의해서 간섭을 받기 때문인 것으로 프랑스의 천문학자 르베리에(Urbain Jean Joseph Le Verrier, 1811~1877)가 설명했다. 뉴턴의 만유인력 법칙을 이용하여 이론적으로 계산한 값은 100년에 약 531″로, 실제 관측 값 574″과 비교할 때 약 43″오차가 있다. 천문학자들은 43″의 오차가 태양과 수성 사이에 발견되지 않은 미지의 행성이 있기 때문이라고 생각하여, 그 미지의 행성에 ‘불칸(Vulcan)’이라는 이름을 붙이고 한동안 흥분하기도 했다.
아인슈타인은 상대성 이론에서 유도한 공식을 이용하여 43″의 추가 이동은 시공간의 구부러짐에 의한 효과임을 정확하게 계산하여 발표했다. 미지의 행성 같은 것은 존재하지 않았다.
2) 태양 중력장에 의한 별빛의 굴절
아인슈타인은 일반 상대성 이론을 이용하여 태양의 중력장에 의해 빛이 굴절하는 각을 계산하여 발표했다. 그는 태양의 반지름을 1로 잡을 때, 태양의 중심에서 Δ(델타)만큼 떨어진 곳을 지나는 빛이 굴절되는 각도는 1.7″∕Δ 라고 추론했다.
태양 옆을 스쳐 들어오는 별빛은 달이 태양을 가리는 개기일식 때에만 관측이 가능하다. 이 증명은 영국 왕립학회와 왕립천문학회의 지원으로 파견된 천문관측 팀에 의해서 이루어졌다. 1919년 5월 29일, 서아프리카의 섬 프린시페(Principe)로 파견된 에딩턴(Arthur Stanley Eddington, 1882~1944) 팀은 개기일식이 진행되는 동안 태양 주변의 별들을 사진 촬영하는 데 성공했다. 그 사진을 태양이 없을 때 찍은 별자리 사진과 겹쳐서 비교한 결과, 별들의 위치가 평소와 달리 태양 외곽 방향으로 방사한 것처럼 나타났다. 이는 태양의 중력장에 의해서 별빛이 휘어짐으로써 나타난 결과였다.
[ (좌) 에딩턴의 관측 320배 확대 사진, (우) London News 신문 기사]
별빛이 휘어져 들어옴으로써, 별들의 위치가 원래의 위치에서 바깥쪽으로 이동한 것처럼 찍혔다.
사진 출처: The Royal Observatory Greenwich
글 신규진 경성고 과학교사 《너무 재밌어서 잠못드는 지구의 과학》 저자